Question

某食品企業一個月內被消費者投訴的次數用ξ表示，椐統計，隨機變量ξ的概率分布如下：

ξ		1	2	3
p	0.1	0.3	2a	a

（Ⅰ）求a的值和ξ的數學期望；
（Ⅱ）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于隨機變量的所有可能的取值，其相應的概率之和都是1，即P₁+P₂+…=1．借此，我們可以求出a值，再利用數學期望的定義求解．
（2）由題意得，該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的事件分解成兩個互斥事件之和，分別求出這兩個事件的概率后相加即可．
解答：解：（1）由概率分布的性質有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，∴ξ的概率分布為

ξ		1	2	3
P	0.1	0.3	0.4	0.2

∴Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7
（2）設事件A表示“兩個月內共被投訴2次”事件A₁表示“兩個月內有一個月被投訴2次，
另外一個月被投訴0次”；
事件A₂表示“兩個月內每月均被投訴12次”
則由事件的獨立性得
P（A₁）=C₂¹P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08
P（A₂）=[P（ξ=1）]²=0.3²=0.09
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）=0.08+0.09=0.17
故該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率為0.17
點評：本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差，通常情況下，都是先求出隨機變量取每個值時的概率、再得其分布列、最后用數學期望與方差的定義求解；求復雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉化為彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式計算互斥事件和的概率．