Question

（2009•越秀區模擬）某食品企業一個月內被消費者投訴的次數用ξ表示．據統計，隨機變量ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P	0.1	a	2a	0.3

（1）求a的值和ξ的數學期望；
（2）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企業在這兩個月內共被消費者投訴3次的概率．

Answer 1

分析：（1）由概率分布的性質有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（2）設事件A表示“兩個月內共被投訴3次”，事件A₁表示“兩個月內有一個月被投訴3次，另外一個月被投訴0次”，事件A₂表示“兩個月內有一個月被投訴2次，另外一個月被投訴1次”，由事件的獨立性分別求出P（A₁）=0.06和P（A₂）=0.16，所以P（A）=P（A₁）+P（A₂）=0.06+0.16=0.22．

解答：（1）解：由概率分布的性質有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2．
所以ξ的概率分布為

ξ	0	1	2	3
P	0.1	0.2	0.4	0.3

所以Eξ=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.3=1.9．
（2）解：設事件A表示“兩個月內共被投訴3次”，
事件A₁表示“兩個月內有一個月被投訴3次，另外一個月被投訴0次”，
事件A₂表示“兩個月內有一個月被投訴2次，另外一個月被投訴1次”，
則由事件的獨立性得，P（A₁）=C₂¹P（ξ=3）P（ξ=0）=2×0.3×0.1=0.06，
P（A₂）=C₂¹P（ξ=2）P（ξ=1）=2×0.4×0.2=0.16，
所以P（A）=P（A₁）+P（A₂）=0.06+0.16=0.22．
所以該企業在這兩個月內共被消費者投訴3次的概率為0.22．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，體現了化歸的重要思想，學會運用統籌思想解決概率的計算問題．