Question

已知圓M：x²+（y-1）²=1，過圓心M的直線與拋物線x²=4y及圓M的交點依次為A，B，C，D，則|AC|•|BD|的取值范圍為（　　）

• A、（9，+∞）
• B、[9，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、[4，+∞）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用拋物線的定義，結合圓的定義，可得|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2），設直線AD：x=m（y-1），代入拋物線方程，運用韋達定理，化簡整理，即可得到m的關系式，即可得到范圍．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線x²=4y的焦點為（0，1），準線為y=-1．
|AM|=y₁+1，|DM|=y₂+1，
則|AB|=|AM|-1=y₁，|CD|=|DM|-1=y₂，
則有|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2）
=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
設直線AD：x=m（y-1），代入拋物線方程，
得，m²y²-（2m²+4）y+m²=0，
即有y₁+y₂=2+

4

m2

，y₁y₂=1，
則|AC|•|BD|=1+4+

8

m2

+4=9+

8

m2

＞9．
故選A．

點評：本題考查拋物線的定義和方程及性質，考查直線和拋物線方程聯立消去未知數，運用韋達定理解題，考查運算能力，屬于中檔題．