Question

如圖，設(shè)雙曲線

x2

4

-

y2

9

=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上．
（1）若∠F₁MF₂=

π

2

，求△F₁MF₂的面積；
（2）若∠F₁MF₂=

π

3

，求△F₁MF₂的面積是多少？若∠F₁MF₂=120°時(shí)，△F₁MF₂的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：1）設(shè)|F₁M|=m，|F₂M|=n，m＞n，利用雙曲線的定義可得m-n=4，由∠F₁MF₂=

π

2

，可得m²+n²=(2

13

)2=52，即可得出mn；
（2）①∠F₁MF₂=

π

3

，在△F₁MF₂中，由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncos

π

3

，即52=（m-n）²+mn，可得mn=36，利用△F₁MF₂的面積=

1

2

×mnsin

π

3

即可得出．
②∠F₁MF₂=

2π

3

，同理可得．

解答： 解：（1）設(shè)|F₁M|=m，|F₂M|=n，m＞n，
則m-n=4，
∵∠F₁MF₂=

π

2

，∴m²+n²=(2

13

)2=52，
∴2mn=36，
∴△F₁MF₂的面積=

1

2

×mn=9；
（2）①∠F₁MF₂=

π

3

，在△F₁MF₂中，由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncos

π

3

，即52=（m-n）²+mn，
∴mn=36，
∴△F₁MF₂的面積=

1

2

×mnsin

π

3

=

9 3

2

；
②∠F₁MF₂=

2π

3

，在△F₁MF₂中，由余弦定理可得（2c）²=m2+n2-2mncos

2π

3

，即52=（m-n）²+3mn，
∴mn=12，
∴△F₁MF₂的面積=

1

2

×mnsin

2π

3

=

9 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．