Question

已知函數y=f（x）滿足f（π-x）=f（x），且當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，f（x）=xsinx-cosx，則（　　）

• A、f（2）＜f（3）＜f（4）
• B、f（3）＜f（4）＜f（2）
• C、f（4）＜f（3）＜f（2）
• D、f（4）＜f（2）＜f（3）

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質

分析：首先根據函數的關系式判斷出函數是偶函數，進一步根據函數的導數確定函數的單調性，再根據函數的對稱性確定本題的結果．

解答： 解：f（x）=xsinx-cosx，
所以：f（-x）=（-x）sin（-x）-cos（-x）=xsinx-cosx=f（x）
得到函數為偶函數．
當x∈（0，

π

2

）時，f′（x）=xcosx+2sinx＞0，
函數f（x）在（0，

π

2

）上是增函數．
當x∈(-

π

2

，0)時，f′（x）=xcosx+2sinx＜0，
函數f（x）在（-

π

2

，0）上是減函數．
由函數y=f（x）滿足f（π-x）=f（x），
所以函數f（x）的圖象關于x=

π

2

對稱．
所以：函數在x∈(

π

2

，π)上是減函數，函數在x∈(π，

3π

2

)上是增函數．
f（

π

2

）＞f（2）＞f（4）＞f（3）＞f（π）
故：f（2）＞f（4）＞f（3）
故選：B

點評：本題考查的知識要點：三角函數奇偶性及單調性的應用，三角函數的導數的應用．屬于中等題型．