Question

已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設橢圓的頂點為P，則a=2c，又由a-c=1，由PF₁=PF₂=2結合橢圓的定義可得2a，結合b²=a²-c²可求橢圓的方程；
（2）存在直線l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．設直線l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8lmx+4m²-12=0．由此利用根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）設橢圓的頂點為P，
由兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，
可得a=2c，
又∵右焦點到右頂點的距離為1．
∴a-c=1，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3
橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）解：存在直線l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立．理由如下：
設直線l的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8lmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得3+4k²＞m²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

．
若|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立，
即|

OA

+2

OB

|2=|

OA

-2

OB

|2，等價于

OA

•

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•

4m2-12

3+4k2

-km•

8km

3+4k2

+m²=0，
化簡得7m²=12+12k²．即k²=

7

12

m²-1，
代入3+4k²＞m²中，3+4（

7

12

m²-1）＞m²，
解得m²＞

3

4

．
又由7m²=12+12k²≥12，得m²≥

12

7

，
從而m²≥

12

7

，
解得m≥

2 21

7

或m≤-

2 21

7

．
所以實數m的取值范圍是（-∞，-

2 21

7

]∪[

2 21

7

，+∞）．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地加以運用．