Question

設橢圓的中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，一個頂點為A（0，2），右焦點F到點的距離為2．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設經過點（0，-3）的直線l與橢圓相交于不同兩點M，N滿足，試求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出橢圓的標準方程，由右焦點F到點的距離為2列式求出c的值，結合b=2和求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出兩交點M、N的坐標和，從而求出線段MN的中點P的坐標，由，知點A在線段MN的垂直平分線上，由兩點式寫出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之積等于-1求直線l的斜率，則方程可求．
解答：解：（Ⅰ） 依題意，設橢圓方程為，
則其右焦點坐標為，
由|FB|=2，得，
即，故．
又∵b=2，∴a²==12，
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）由題意可設直線l的方程為y=kx-3（k≠0），
由，知點A在線段MN的垂直平分線上，
由得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即時方程①有兩個不相等的實數根
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x，y）
則x₁，x₂是方程①的兩個不等的實根，故有
從而有，
于是，可得線段MN的中點P的坐標為
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為
由AP⊥MN，得
即5+6k²=9，解得，∴，
∴所求直線l的方程為：．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，運用了設而不求的解題思想，訓練了兩直線垂直的條件，是難題．