Question

設橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率e=，過橢圓外一點M（0，2）作直線l交橢圓與A，B兩點，若△AOB的面積最大值為，求此橢圓方程和直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：由于，所以設橢圓方程為：，設直線l方程為：y=kx+2，兩者聯立，又借助于△AOB的面積最大值為，可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0，從而，故問題得解．
解答：解：∵，∴可設橢圓方程為：，顯然直線l的斜率存在，
設直線l方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…1'
由消去y整理，得（1+2k²）x²+8kx+8-2c²=0，
由韋達定理得，
∴
可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0（*）…8'
∵k²有解，∴△=（4S²-16c²）²-4×4S²×（S²-8c²+32）≥0，
解得，…10'
∴，∴c²=2，將c²=2，代入（*）得，…13'
綜上所述，橢圓方程為：，直線l的方程為：，…14'
點評：本題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重點，每年必考．一般都是聯立直線與圓錐曲線方程消去一個未知數，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結合題意來解．