Question

設橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓外一點M（0，2）作直線l交橢圓與A，B兩點，若△AOB的面積最大值為

2

，求此橢圓方程和直線l的方程．

Answer 1

分析：由于e=

2

2

，所以設橢圓方程為：

x2

2c2

+

y2

c2

=1，設直線l方程為：y=kx+2，兩者聯立，又借助于△AOB的面積最大值為

2

，可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0，從而S≤

c2

2

，故問題得解．

解答：解：∵e=

2

2

，∴可設橢圓方程為：

x2

2c2

+

y2

c2

=1，顯然直線l的斜率存在，
設直線l方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…1'
由

y=kx+2 x2 2c2 + y2 c2 =1

消去y整理，得（1+2k²）x²+8kx+8-2c²=0，
由韋達定理得，x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

8-2c2

1+2k2

…3′
∴S△AOB=

1

2

×2×|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16c2k2+8c2-32 4k2+4k+1

…6′
可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0（*）…8'
∵k²有解，∴△=（4S²-16c²）²-4×4S²×（S²-8c²+32）≥0，
解得，S≤

c2

2

…10'
∴Smin=

c2

2

=

2

，∴c²=2，將c²=2，S=

2

代入（*）得，k=±

6

2

…13'
綜上所述，橢圓方程為：

x2

4

+

y2

2

=1，直線l的方程為：y=±

6

2

x+2，…14'

點評：本題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重點，每年必考．一般都是聯立直線與圓錐曲線方程消去一個未知數，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結合題意來解．