Question

（2013•萊蕪二模）設橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，焦距為2，F為右焦點，B₁為下頂點，B₂為上頂點，S△B1FB2=1．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l同時滿足下列三個條件：①與直線B₁F平行；②與橢圓交于兩個不同的點P、Q；③S△POQ=

2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓標準方程，知道2c可得c，再由S△B1FB2=1求出b的值，利用a²=b²+c²求出a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由直線l與直線B₁F平行，設出直線l的方程，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的方程后由判別式大于0求出m的范圍，利用根與系數關系寫出x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．由弦長公式求出PQ的長度，由點到直線的距離公式求出坐標原點O到直線l的距離，代入S△POQ=

2

3

求出m的值，驗證后得到符合三個條件的直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意知，2c=2，所以c=1．
由S△B1FB2=1，得

1

2

•2b•1=1，所以b=1，
從而a²=b²+c²=1²+1²=2．
所以所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設滿足條件的直線為l．
因為直線B₁F的斜率等于1，l∥B₁F，故可設l的方程為y=x+m．
由

x2 2 +y2=1 y=x+m

，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由題意，△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得m²＜3，
且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
所以，|PQ|=

2

|x1-x2|=

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 4 3 m)2- 4(2m2-2) 3

=

4 3-m2

3

．
點O到直線l的距離為d=

|m|

2

．
由S△POQ=

1

2

•d•|PQ|=

1

2

•

|m|

2

•

4 3-m2

3

=

2 |m|• 3-m2

3

=

2

3

，
得m⁴-3m²+2=0．
解得m²=1或m²=2，所以m=±1或m=±

2

．滿足m²＜3，
但當m=-1時，直線y=x-1與B₁F重合，故舍去．
所以，存在滿足條件的直線l，這樣的直線共3條，其方程為y=x+1，y=x-

2

，y=x+

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、面積問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．