Question

設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，2），右焦點(diǎn)F到點(diǎn)B(

2

，

2

)的距離為2．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M，N滿足|

AM

|=|

AN

|，試求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ） 依題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，
由|FB|=2，得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，
即(c-

2

)2+2=4，故c=2

2

．
又∵b=2，∴a²=b2+c2=22+(2

2

)2=12，
∴所求橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），
由|

AM

| = |

AN

|，知點(diǎn)A在線段MN的垂直平分線上，
由

y=kx-3 x2 12 + y2 4 =1

得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即k2＞

5

12

時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀）
則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)不等的實(shí)根，故有x1+x2=

18k

1+3k2

從而有x0=

x1+x2

2

=

9k

1+3k2

，y0=kx0-3=

9k2-3(1+3k2)

1+3k2

=

-3

1+3k2

于是，可得線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

9k

1+3k2

，

-3

1+3k2

)
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為k1=

-3 1+3k2 -2

9k 1+3k2

=

-5-6k2

9k

由AP⊥MN，得

-5-6k2

9k

×k=-1
即5+6k²=9，解得k2=

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
∴所求直線l的方程為：y=±

6

3

x-3．