Question

用半徑為R的圓鐵皮剪一個(gè)內(nèi)接矩形，再將內(nèi)接矩形卷成一個(gè)圓柱（無(wú)底、無(wú)蓋），問(wèn)使矩形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，其體積最大？

Answer 1

分析：首先分析題目要求半徑為R的圓鐵皮剪一個(gè)內(nèi)接矩形，將內(nèi)接矩形卷成一個(gè)圓柱（無(wú)底、無(wú)蓋），求其體積最大．故可以設(shè)矩形的兩邊x，y．然后列出方程．由幾何關(guān)系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．利用公式表示成圓柱體的體積，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可．

解答：解：可設(shè)矩形的兩邊x，y，由幾何關(guān)系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．，
則體積V=π×(

x

2π

)2×

4R2-x2

=

x 2

4π

 ×

4R2-x2

∴V′=

1

4π

×（2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

）
令V′=0得2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

=0，整理得

4R2-x2

=x，解得x=

2

R，此時(shí)另一邊長(zhǎng)為

2

R
即當(dāng)x=

2

R時(shí)，體積取到最大值，最大值為V=

2R 2

4π

 ×

4R2-2R2

=

2

2

R3
即當(dāng)長(zhǎng)與寬都是

2

R時(shí)，此圓柱體體積取到最大值

2

2

R3

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查導(dǎo)數(shù)求最值在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題，由導(dǎo)數(shù)求最值在高考中屬于重要考點(diǎn)，需要同學(xué)們理解記憶．