Question

用半徑為R的圓鐵皮剪一個內接矩形，再將內接矩形卷成一個圓柱（無底、無蓋），問使矩形邊長為多少時，其體積最大？

Answer 1

可設矩形的兩邊x，y，由幾何關系x²+y²=4R²故有y=

4R2-x2

．，
則體積V=π×(

x

2π

)2×

4R2-x2

=

x 2

4π

 ×

4R2-x2

∴V′=

1

4π

×（2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

）
令V′=0得2x×

4R2-x2

+

x2×(-x)

4R2-x2

=0，整理得

4R2-x2

=x，解得x=

2

R，此時另一邊長為

2

R
即當x=

2

R時，體積取到最大值，最大值為V=

2R 2

4π

 ×

4R2-2R2

=

2

2

R3
即當長與寬都是

2

R時，此圓柱體體積取到最大值

2

2

R3