Question

為了綠化城市，準備在如圖所示的區域ABCDE內修建一個矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，經測量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m問應如何設計才能使草坪的占地面積最大？并求出最大面積（精確到1m²）．

Answer 1

分析：如圖，先以BC邊所在直線為x軸，，以AE邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求得直線AB的方程，再設出Q坐標，由矩形面積公式建立模型，然后根據函數的類型選擇適當的方法求其最值．

解答：解：如圖，以BC邊所在直線為x軸，，以AE邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，20），B（30，0）．
所以直線AB的方程為：

x

30

+

y

20

=1，（4分）
即y=20-

2

3

x
設Q(x，20-

2x

3

)，則矩形PQRD的面
積為S=(100-x)[80-(20-

2x

3

)]
（0≤x≤30）（8分）
化簡，得S=-

2

3

x2+

20

3

x+6000（0≤x≤30）
配方，S=-

2

3

(x-5)2+6000+

50

3

（0≤x≤30）（12分）
易得當x=5，y=

50

3

時，S最大，其最大值為Smax≈6017m²（14分）

點評：本題主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及了用解析法解決平面問題，矩形面積公式，二次函數法求最值，以及數形結合的思想．