Question

為了綠化城市，準備在如圖所示的區域內修建一個矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的內部有一文物保護區．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．     
（1）求直線EF的方程．
（2）應如何設計才能使草坪的占地面積最大？

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐標系，直線EF過點E（30，0），F（0，20），其方程由截距式可得；
（2）點Q在直線EF上，可設點Q（x，20-

2

3

x），矩形PQRC的面積S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]，計算S取最大值時對應的x的值，從而得點Q的坐標即可．

解答：解：（1）建立坐標系如圖所示，在線段EF上任取一點Q，分別向BC，CD作垂線．
由題意，直線EF的方程為：

x

30

+

y

20

=1；
（2）設Q（x，20-

2

3

x），則矩形PQRC的面積為：S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]（其中0≤x≤30）；
化簡，得S=-

2

3

x²+

20

3

x+6000  （其中0≤x≤30）；
所以，當x=-

20 3

2×( - 2 3 )

=5時，此時y=20-

2

3

×5=

50

3

，即取點Q（5，

50

3

）時，S有最大值，最大值為6016

2

3

m²．

點評：本題考查了直線方程和二次函數模型的應用，利用二次函數的對稱軸求最大值時，要考慮對稱軸是否在定義域內．