【題目】設橢圓
的焦點在
軸上.
（1）若橢圓
的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設
分別是橢圓的左、右焦點，
為橢圓上的第一象限內的點，直線
交
軸與點
，并且
，證明：當
變化時，點
在某定直線上.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】試題（1）由橢圓的焦距為
，可得
，又由
，從而可以建立關于
的方程，即可解得
，因此橢圓
的方程為；（2）根據題意，可設
，條件中關于
的約束只有
及在橢圓上，因此需從即
為出發點建立
，
滿足的關系式，由題意可得直線
的斜率
，直線
的斜率
，
故直線的方程為
，當
時
，即點
的坐標為
,
故直線
的斜率為
，因此
，化簡得
，又由點在橢圓上，可得
，即點在直線
上.
試題解析：（1）∵焦距為1，∴
，∴
，
故橢圓的方程為；
（2）設，其中
，由題設知
，
則直線的斜率，直線的斜率，
故直線的方程為，當時，即點的坐標為,
∴直線的斜率為，
∵，∴，化簡得
將上式代入橢圓的方程，由于
在第一象限，解得，即點在直線上.
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【題目】已知
次多項式
．如果在一種算法中，計算
的值共需要
次乘法，計算
的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算
的值共需要______次運算．下面給出一種減少運算次數的算法：
．利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要______次運算；
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【題目】已知拋物線
的焦點為F，過點F，斜率為1的直線與拋物線C交于點A，B，且
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R（1，2）的兩點D、E，若直線DR，ER分別交直線
于M，N兩點，求|MN|取最小值時直線DE的方程．
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【題目】對于數對序列
、
、
、
，記
，
，其中
表示
和
兩個數中最大的數.
（1）對于數對序列
，
，求
，
的值；
（2）記
為
、
、
、
四個數中最小值，對于由兩個數對
、
組成的數對序列
、和
、，試分別對
和
的兩種情況比較和
的大小；
（3）在由
個數對
、
、
、
、
組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列
使
最小，并寫出的值.（只需寫出結論）
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【題目】如圖，雙曲線
的兩頂點為
，
，虛軸兩端點為
，
，兩焦點為
，
，若以
為直徑的圓內切于菱形
，切點分別為
，
，
，
.則
（1）雙曲線的離心率
______；
（2）菱形的面積
與矩形
的面積
的比值
______.
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【題目】如圖，已知曲線
，曲線
，P是平面上一點，若存在過點P的直線與
都有公共點，則稱P為“C1—C2型點”．
(1)在正確證明
的左焦點是“C1—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
(2)設直線
與
有公共點，求證
，進而證明原點不是“C1—C2型點”；
(3)求證：圓
內的點都不是“C1—C2型點”．
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【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，
，
為等邊三角形，G是線段SB上的一點，且SD//平面GAC.
（1）求證：G為SB的中點；
（2）若F為SC的中點，連接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，
，求三棱錐F-AGC的體積.
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【題目】小王于2015年底貸款購置了一套房子，根據家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數額相同的還貸方式，且截止2019年底，他沒有再購買第二套房子.下圖是2016年和2019年小王的家庭收入用于各項支出的比例分配圖，根據以上信息，判斷下列結論中正確的是（ ）
A.小王一家2019年用于飲食的支出費用跟2016年相同
B.小王一家2019年用于其他方面的支出費用是2016年的3倍
C.小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍
D.小王一家2019年用于房貸的支出費用比2016年減少了
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