Question

是否存在這樣的k值，使函數f(x)=k²x⁴x³-kx²+2x+在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增?

Answer 1

解:f′(x)=4k²x³-2x²-2kx+2,由題意，當x∈(1,2)時，f′(x)＜0.

當x∈(2,+∞)時，f′(x)＞0.由函數f′(x)的連續性可知f′(2)=0,

即32k²-4k-6=0,得k=或k=.驗證：當k=時，f′(x)=x³-2x²-x+2=(x+1)(x-1)(x-2).

若1＜x＜2,f′(x)＜0,若x＞2,f′(x)＞0,符合題意.

當k=時，f′(x)=x³-2x²+x+2=(x)(x-2)(x).

顯然不合題意.綜上所述，存在k=，滿足題意.