Question

是否存在這樣的k值，使函數f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．

Answer 1

分析：求出導函數f′（x），根據f（x）在（1，2）上遞減，在（2，-∞）上遞增，可以確定f′（2）=0，從而求出k=

1

2

或k=-

3

8

，再分別對它們進行驗證是否符合題意，經過驗證，判斷出k=

1

2

時符合題意，k=-

3

8

時不合題意，最后確定存在k的值，使函數f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上遞減，在（2，-∞）上遞增．

解答：解：∵f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

，
∴f′（x）=4k²x³-2x²-2kx+2，
∵函數f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
∴當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
由函數f′（x）的連續性可知，f′（2）=0，
∴f′（2）=32k²-4k-6=0，解得k=

1

2

或k=-

3

8

，
下面對k=

1

2

或k=-

3

8

分別進行驗證：
①若k=

1

2

時，f′（x）=x³-2x²-x+2=（x+1）（x-1）（x-2），
當1＜x＜2，f′（x）＜0，
當x＞2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上遞減，在（2，-∞）上遞增，
∴k=

1

2

符合題意；
②若k=-

3

8

時，f′（x）=

9

16

x3-2x2+

3

4

x+2=

9

16

(x-

7- 193

9

)(x-2)(x-

7+ 193

9

)，
當1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上遞增，
∴k=-

3

8

不合題意．
綜合①②，存在k=

1

2

，滿足題意．
∴存在k=

1

2

，使函數f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上遞減，在（2，-∞）上遞增．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．本題的關鍵是要注意對k的值進行驗證，同時也是易錯點．屬于中檔題．