Question

8．過圓x²+y²=25內一點P（$\sqrt{15}$，0）作傾斜角互補的直線AC和BD，分別與圓交于A、C和B、D，則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）

• A． 40$\sqrt{3}$
• B． $\frac{80\sqrt{3}}{3}$
• C． 40$\sqrt{2}$
• D． $\frac{80\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設AC的傾斜角為θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），可得AC：y=tanθ（x-$\sqrt{15}$）．再設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），聯立直線方程與圓的方程，利用根與系數的關系結合梯形面積公式可得S_ABCD=$\frac{40ta{n}^{3}θ-100tanθ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}$．換元后利用導數求最值．

解答 解：如圖，

設AC的傾斜角為θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
則AC：y=tanθ（x-$\sqrt{15}$）．
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由對稱性可得：${S}_{ABCD}=2×\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）$
=$tanθ（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$tanθ[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x•tanθ-\sqrt{15}tanθ}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，得$（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}-2\sqrt{15}x•ta{n}^{2}θ+15ta{n}^{2}θ-25=0$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2\sqrt{15}ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{15ta{n}^{2}θ-25}{1+ta{n}^{2}θ}$．
則S_ABCD=$tanθ[\frac{60ta{n}^{4}θ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}-\frac{60ta{n}^{2}θ-100}{1+ta{n}^{2}θ}]$=$\frac{40ta{n}^{3}θ-100tanθ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}$．
令tanθ=k（k＞0），
則S=$\frac{40{k}^{3}-100k}{（1+{k}^{2}）^{2}}$，∴S′=$-20（2{k}^{2}-1）•\frac{{k}^{2}+5}{（1+{k}^{2}）^{2}}$．
∴當k∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，S′＞0，當k∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）時，S′＜0，
∴當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，${S}_{max}=\frac{80\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查直線和圓的相關知識，三角函數的最值問題，考查換元法的思想，以及運算能力，訓練了利用導數求函數的最值，屬于中檔題