Question

在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，S為△ABC的面積，則S+

3

cosBcosC的最大值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：先利用余弦定理求得A，進而通過正弦定理表示出c，代入面積公式求得S+

3

cosBcosC的表達式，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡求得其最大值．

解答： 解：∵a²=b²+c²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴A=

2π

3

，
由正弦定理 c=a•

sinC

sinA

=

3

×

sinC

3 2

=2sinC，
∴S=

acsinB

2

=

3 ×2sinC×sinB

2

=

3

sinBsinC
∴S+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos（B-C）≤

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．求得面積的表達式是解決問題的關鍵，屬于中檔題．