Question

2．2016年雙十一活動結束后，某地區研究人員為了研究該地區在雙十一活動中消費超過3000元的人群的年齡狀況，隨機在當地消費超過3000元的群眾中抽取了500人作調查，所得頻率分布直方圖如圖所示：
記年齡在[55，65），[65，75），[75，85]對應的小矩形的面積分別是S₁，S₂，S₃，且S₁=2S₂=4S₃．
（Ⅰ）以頻率作為概率，若該地區雙十一消費超過3000元的有30000人，試估計該地區在雙十一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的人數；
（Ⅱ）若按照分層抽樣，從年齡在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人作深入調查，求至少有1人的年齡在[15，25）內的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S₁+S₂+S₃=1，且S₁=2S₂=4S₃．從而得到該地區在雙十一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的頻率，由此該地區在雙十一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的人數．
（Ⅱ）年齡在[15，25），[65，75）的頻率0.04，0.1，從年齡在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，年齡在[15，25）的人群中抽取2人，[65，75）的人群抽取5人，再從這7人中隨機抽取2人作深入調查，基本事件總數n=${C}_{7}^{2}$=21，至少有1人的年齡在[15，25）內的對立事件是抽取的2人的年齡都在[65，75）內，由此能求出至少有1人的年齡在[15，25）內的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵記年齡在[55，65），[65，75），[75，85]對應的小矩形的面積分別是S₁，S₂，S₃，且S₁=2S₂=4S₃．
∴（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S₁+S₂+S₃=1，
且S₁=2S₂=4S₃．
解得S₃=0.05，S₂=0.1，S₃=0.2，
∴該地區在雙十一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的頻率為0.030×10+0.2=0.5，
∴該地區在雙十一活動中消費超過3000元且年齡在[45，65）的人數為：0.5×30000=15000人．
（Ⅱ）從年齡在[15，25），[65，75）的頻率分別為0.004×10=0.04，0.1，
從年齡在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，
年齡在[15，25）的人群中抽取：7×$\frac{0.04}{0.04+0.1}$=2人，[65，75）的人群抽�。�7×$\frac{0.1}{0.04+0.1}$=5人，
再從這7人中隨機抽取2人作深入調查，基本事件總數n=${C}_{7}^{2}$=21，
至少有1人的年齡在[15，25）內的對立事件是抽取的2人的年齡都在[65，75）內，
∴至少有1人的年齡在[15，25）內的概率p=1-$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=1-$\frac{11}{21}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．