Question

光線從點A（2，3）射出，若鏡面的位置在直線l：x+y+1=0上，反射光線經過B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程，并求光線從A到B所走過的路線長．

Answer 1

分析：求出點A關于l的對稱點，就可以求出反射光線的方程，進一步求得入射點的坐標，從而可求入射光線方程，可求光線從A到B所走過的路線長．

解答：解：設點A關于l的對稱點為A′（x₀，y₀），
∵AA′被l垂直平分，∴

x0+2 2 + y0+3 2 +1=0 y0-3 x0-2 =1

，解得

x0=-4 y0=-3

∵點A′（-4，-3），B（1，1）在反射光線所在直線上，
∴反射光線的方程為

y+3

1+3

=

x+4

1+4

，即4x-5y+1=0，
解方程組

4x-5y+1=0 x+y+1=0

得入射點的坐標為（-

2

3

，-

1

3

）．
由入射點及點A的坐標得入射光線方程為

y+ 1 3

3+ 1 3

=

x+ 2 3

2+ 2 3

，即5x-4y+2=0，
光線從A到B所走過的路線長為|A′B|=

(-4-1)2+(-3-1)2

=

41

．

點評：本題重點考查點關于直線的對稱問題，考查入射光線和反射光線，解題的關鍵是利用對稱點的連線被對稱軸垂直平分．