Question

（1）已知兩圓x²+y²-10x-10y=0，x²+y²+6x-2y-40=0，判斷他們的位置關(guān)系，如果相交，求它們的公共弦所在直線的方程；
（2）一條光線從點(diǎn)A（-2，3）射出，經(jīng)x軸反射后，與圓（x-3）²+（y-2）²=1相切，求反射線經(jīng)過所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）將兩個(gè)圓進(jìn)行配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心和半徑之間的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系．
（2）利用對稱性求點(diǎn)A（-2，3）關(guān)于x的對稱點(diǎn)，利用反射關(guān)系的性質(zhì)求出反射關(guān)系的斜率，利用直線與圓的位置關(guān)系求解．

解答：解：（1）兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+（y-5）²=50，（x+3）²+（y-1）²=50，
所以兩圓的圓心分別為A（5，5），B（-3，1），半徑分別為r=R=5

2

．
兩圓圓心之間的距離為|AB|=

(5+3)2+(5-1)2

=

80

=4

5

，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">r-R＜4

5

＜r+R，所以兩圓相交．
將圓的方程進(jìn)行相減得2x+y-5=0，
即它們的公共弦所在直線的方程2x+y-5=0．
（2）設(shè)反射關(guān)系的斜率為k，則根據(jù)反射光線的性質(zhì)可知，反射光線必過點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)（-2，-3），
所以反射光線的方程為y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0．
所以圓心（3，2）到直線kx-y+2k-3=0的距離d=

|3k-2+2k-3|

k2+1

=

|5k-5|

k2+1

=1，
解得k=

4

3

或

3

4

，即反射光線的方程為4x-3y-1=0或者3x-4y-6=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握直線與圓位置關(guān)系的判斷．