如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
為棱
上的動點，
.
⑴當為
的中點，求直線
與平面
所成角的正弦值；
⑵當
的值為多少時，二面角
的大小是45
.
（1）
，（2）
.
解析試題分析：（1）此小題考查用空間向量解決線面角問題，只需找到面的法向量與線的方向向量，注意用好如下公式：
，且線面角的范圍為：
；（2）此小題考查的是用空間向量解決面面角問題，只需找到兩個面的法向量，但由于點坐標未知，可先設(shè)出，利用二面角的大小是45，求出點坐標，從而可得到
的長度，則易求出其比值.
試題解析：
如圖，以點
為原點建立空間直角坐標系，依題意得
，⑴因為為中點，則
，
設(shè)
是平面的一個法向量，則
，得
，取
，則
，設(shè)直線與平面的法向量的夾角為
，則
，所以直線與平面所成角的正弦值為；
⑵設(shè)
，設(shè)是平面的一個法向量，則
，取
，則
，
是平面
的一個法向量，
，得
，即
，所以當時，二面角的大小是
.
考點：運用空間向量解決線面角與面面角問題，要掌握線面角與面面角的公式，要注意合理建系.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．
(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
，求線段AM的長．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，直三棱柱
的底面
是等腰直角三角形，
，側(cè)棱
底面，且
，
是
的中點，
是
上的點．
（1）求異面直線
與所成角
的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
（2）若
，求線段
的長．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，正方形
與梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
，
，
，
為
的中點．
（1）求證：
∥平面；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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的所有棱長都相等,
,四邊形
和四邊形
為矩形.
底面
;
,求二面角
的余弦值.
為平行四邊形，
，
平面
，
，
，
.
是線段
的中點，求證：
平面
；
，求二面角
的余弦值.
關(guān)于xOy面的對稱點，則
= 
,
(
兩兩互相垂直的單位向量)，那么
= .