如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．
(1)
；(2)
解析試題分析：因為直線AB、AC、
兩兩垂直，故以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
（1）向量
分別為直線A1B與C1D的方向向量，求出的坐標，由空間兩向量夾角公式
可得向量夾角的余弦值；
（2）設平面
的法向量為
，
又
，根據法向量定義求出平面的一個法向量
，因為
平面
，取平面的一個法向量為
，先求出與
夾角的余弦值，又平面ADC1與平面ABA1夾角與與夾角相等或互補。
試題解析：(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
，
，
異面直線
與
所成角的余弦值為。
（2）設平面的法向量為，
，
，即
且
，
令
，則
，
是平面的一個法向量，
取平面的一個法向量為，
設平面與平面夾角的大小為
，由
，
得
，故平面與平面夾角的正弦值為。
考點：（1）空間向量的坐標運算；（2）直線方向向量、平面法向量的求法；（3）利用空間向量求線面角、面面角；
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，正方形
與矩形
所在平面互相垂直，
，點
為
的中點.
（1）求證：
∥平面
；（2）求證：
；
（3）在線段上是否存在點
，使二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，
(1)求證：A1、G、C三點共線；
(2)求證：A1C⊥平面BC1D；
(3)求點C到平面BC1D的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在如圖所示的多面體中，底面BCFE是梯形，EF//BC，又EF
平面AEB，AEEB，AD//EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．
(1)求證：AB//平面DEG；
(2)求證：BDEG；
(3)求二面角C—DF—E的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
是直角梯形，∠
＝90°，
∥
，＝1，＝2，又
＝1，∠
＝120°，
⊥
，直線
與直線所成的角為60°.
（1）求二面角
的的余弦值；
（2）求點
到面
的距離.
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，
.若
，則
.
中，方程
表示過點
且平行于
軸的直線。類比以上結論有：在空間直角坐標系
中，方程
中，
平面
，
，
為棱
上的動點，
.
的中點，求直線
與平面
所成角的正弦值；
的值為多少時，二面角
的大小是45
.