Question

一個圓錐形的空杯子，上面放著一個半球形的冰淇淋，形成如圖所示的幾何體．
（1）求該幾何體的表面積；（精確到0.1cm²）
（2）如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用有關數據說明．（杯壁的厚度忽略不計）

Answer 1

分析：（1）該幾何體的表面的上部分是一個半徑為3cm的半球，下部分是底面半徑為3cm，高為10cm的圓錐．利用勾股定理計算出圓錐的母線長，可得圓錐的側面積，再結合球的表面積公式，即可算出該幾何體的表面積；
（2）分別計算出上部分半球的體積和下部分圓錐的體積，得到半球的體積小于圓錐的體積，從而得到冰淇淋融化了不會溢出杯子．

解答：解：（1）根據題意，該幾何體的表面的上部分是一個半徑為3cm的半球，下部分是底面半徑為3cm，高為10cm的圓錐
由勾股定理，得圓錐的母線長為l=

32+102

=

109

cm
∴S_圓錐側=πrl=3

109

πcm²
又∵上部分半球的面積為：S_半球=

1

2

×4π×3²=18πcm²
∴該幾何體的表面積為：S_表=S_半球+S_圓錐=3

109

π+18π----------4分
=(18+3

109

)π≈154.9cm²-----------------6分
（2）若上部分半球的體積不大于下部分圓錐的體積時，冰淇淋不會溢出杯子，否則就會溢出杯子
∵V半球=

1

2

×

4

3

π×33=18π，V圓錐=

1

3

π×32×10=30π-----------------------------10分
∴V_半球＜V_圓錐，可得冰淇淋不會溢出杯子--------------------------------------------1分．

點評：本題給出一個組合式的幾何體，求它的表面積和體積，著重考查了球和圓錐的表面積公式和體積公式，屬于基礎題．