Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線： ，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線： .

（1）將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的、2倍后得到曲線，求的參數(shù)方程；

（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)圖像伸縮變換得曲線的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)橢圓參數(shù)方程得曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得點(diǎn)到直線的距離為

利用配角公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得最值及對應(yīng)自變量的取值

試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標(biāo)方程為： ，

∵曲線的直角坐標(biāo)方程為： ，

∴曲線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線的距離為：

，

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，此時(shí)