Question

【題目】如圖： 為所在平面外一點， ， ， ， 平面于.求證：

（1）是的垂心；

（2）為銳角三角形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：(1) 連接并延長交與點由三條側棱， 兩兩垂直可以得到平面,進而得到 ,由平面 ,可得 ,故∴平面,

,即可得, 同理可證： ， ，可得是的垂心.
(2)可以通過余弦定理解決.

試題解析：證明：（1）連接并延長交與點，連接.

∵， ，

∴img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/092b1670/SYS201712291412523815724471_DA/SYS201712291412523815724471_DA.027.png" width="39" height="17" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面

∵直線在平面內

∴

又∵平面

∴

又

∴平面

又∵直線在平面內

∴

連接并延長交與點，連接；連接并延長交與點，連接.

同理可證： ，

故是的垂心.

（2）設， ， ，則， ， .

∵

∴為銳角.

同理可證： 也為銳角

故證得為銳角三角形.

點晴：本題考查是空間的直線與平面的垂直問題和三角形是銳角三角形的證明.第一問充分借助已知條件與判定定理,證明直線與平面垂直，得直線與直線垂直，從而得是的垂心.關于第二問中的三角形是銳角三角形問題,解答時可以通過設邊，由， ， ，則， ， ，然后用余弦定理解決.