Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的取值集合；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)最大值為1，求出y的最大值，以及此時(shí)x的取值集合；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求出x的范圍即可．

解答：解：函數(shù)y=

1

4

cos2x+

1

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
（1）當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，sin（2x+

π

6

）取得最大值1，y取得最大值

7

4

；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．