Question

6．在平面直角坐標系xOy中，點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P，使得2PA=PB，則實數m的取值范圍是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|²=|PB|²，利用兩點之間的距離公式化為：（x+m）²=4-x²，可得：m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，x∈[-2，2]．通過三角函數代換即可得出．

解答 解：設P（x，x+m），
∵2PA=PB，
∴4|PA|²=|PB|²，
∴4（x-1）²+4（x+m）²=（x-4）²+（x+m）²，
化為（x+m）²=4-x²，
∴4-x²≥0，解得x∈[-2，2]，
∴m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=-2cosθ±2sinθ
=±2$\sqrt{2}$sin（θ±$\frac{π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
實數m的取值范圍是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故答案為[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、和差化積、三角函數的求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．