Question

已知f（x）=a^x+b的圖象過點（1，e），其反函數為f^-1（x）過點（1，0），若方程f（x）-kx=0無實根，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：反函數

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由已知列關于a，b的方程組求得a，b的值，得到f（x），利用導數求出該函數過遠點的切線的斜率，則使方程f（x）-kx=0無實根的k的取值范圍可求．

解答： 解：由f（x）=a^x+b的圖象過點（1，e），得
a+b=e  ①，
函數f（x）的反函數f^-1（x）過點（1，0），可得函數f（x）的圖象過點（0，1），則
b=0，代入①得：a=e．
∴f（x）=e^x．
方程f（x）-kx=0無實根，即e^x=kx無實根，
由f（x）=e^x．得f′（x）=e^x，
設直線y=kx與f（x）=e^x的切點為（x0，ex0），
則f′(x0)=ex0，
∴過切點的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
代入原點坐標得x₀=1．
此時切點為（1，e），
∴k=e．
∴使方程e^x=kx無實根的k的范圍是[0，e）．
故答案為：[0，e）．

點評：本題考查了互為反函數的兩函數圖象間的關系，考查了利用導數求切線的方程，訓練了函數零點的判斷方法，是中檔題．