Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）直線l為圓O：x²+y²=b²一條切線，記橢圓的離心率為e，
（1）若直線l的傾斜角為

π

6

，且恰好經過橢圓的右焦點，求e的大小；
（2）是否存在這樣的e使得：①橢圓的右焦點在直線l上；②原點o關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上同時成立，若不存在，請求出e的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出橢圓的右焦點，進而可設直線方程，利用直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，可得一方程，利用橢圓的簡單性質a²=b²+c²，根據離心率公式即可求出e的值；
（2）假設存在這樣的e，使得原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上，不妨設方程為x-my-c=0，從而利用原點O關于直線的對稱點在橢圓上，即可求解．

解答： 解：（1）設橢圓的右焦點為（c，0），c=

a2-b2

，
則直線l的方程為x-

3

y-c=0，
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，
即有

|c|

1+3

=b
∴b=

1

2

c，
∴a²=b²+c²=

5

4

c²．
∴e=

c

a

=

2 5

5

；
（2）假設存在這樣的e，使得原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上，
且橢圓的右焦點在直線l上．
不妨設l的方程為x-my-c=0．
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，則

|c|

1+m2

=b，
∴m²=

c2

b2

-1，
設原點O關于直線的對稱點O′（x₀，y₀），則x₀=

2c

1+m2

，y₀=-

2mc

1+m2

∵O'在橢圓上，代入可得

4c2

a2(1+m2)2

+

4m2c2

b2(m2-1)2

=1，
∴b²=3c²∴m²=

c2

b2

-1＜0不成立．
故不存在這樣的e，使得橢圓的右焦點在直線l上，且原點O關于直線l的對稱點恰好在橢圓C上．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，考查對稱問題，有一定的綜合性．