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已知函數,其中

(1)當時,求曲線在點處的切線方程;

(2)若存在,使得成立,求實數M的最大值;

(3)若對任意的,都有,求實數的取值范圍.

 

(1);(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)根據導數的幾何意義求出切線的斜率,然后利用點斜式求出切線的方程;(2)由題意知要使不等式成立,需要比左邊的最小值即可,要求的最小值,只需求上的最小值與最大值然后作差。(3)由題意知,應求的最大值,的最小值,在求的最小值時,令,或,根據與區間的關系分情況討論。

試題解析:(1)當時, ,,

,,

所以所求切線方程為,即. 2分

(2).令,得,

當x變化時,的變化情況如下:

x

0

2

 

0

 

極小值

1

所以,

因為存在,使得成立,

所以.所以實數M的最大值為. 8分

(3)由(2)知,在上,,所以

(ⅰ)當時,在上,是單調增函數.

所以,解得.所以

(ⅱ)當時,在上,是單調減函數;

上,是單調增函數.所以,不成立.

(ⅲ)當時,在上,,是單調增函數;

上,是單調減函數.

所以,又,可得

(ⅳ)當時,在上,是單調減函數.

,不成立.

綜上,實數的取值范圍是. 16分

考點:(1)導數的幾何意義;(2)利用導函數求函數的最值;(3)分類討論思想的應用。

 

練習冊系列答案
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;

;

.(寫出計算結果)

 

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(1)求的值;

(2)計算甲組7位學生成績的方差;

(3)從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生,求甲組至少有一名學生的概率.

 

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