已知函數,
,其中
.
(1)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)若存在,使得
成立,求實數M的最大值;
(3)若對任意的,都有
,求實數
的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
。
【解析】
試題分析:(1)根據導數的幾何意義求出切線的斜率,然后利用點斜式求出切線的方程;(2)由題意知要使不等式成立,需要
比左邊的最小值即可,要求
的最小值,只需求
在
上的最小值與最大值然后作差。(3)由題意知,應求
的最大值,
的最小值,在求
的最小值時,令
得
,或
,根據
與區間
的關系分情況討論。
試題解析:(1)當時,
,
,
,
,
所以所求切線方程為,即
. 2分
(2),
.令
,得
,
.
當x變化時,與
的變化情況如下:
x | 0 | 2 | |||
| - | 0 | + |
| |
極小值 | 1 |
所以,
.
因為存在,使得
成立,
所以.所以實數M的最大值為
. 8分
(3)由(2)知,在上,
,所以
.
.
(ⅰ)當或
時,在
上,
,
是單調增函數.
所以,解得
或
.所以
或
.
(ⅱ)當時,在
上,
,
是單調減函數;
在上,
,
是單調增函數.所以
,不成立.
(ⅲ)當時,在
上,
,
是單調增函數;
在上,
,
是單調減函數.
所以且
,又
,可得
.
(ⅳ)當時,在
上,
,
是單調減函數.
,不成立.
綜上,實數的取值范圍是
. 16分
考點:(1)導數的幾何意義;(2)利用導函數求函數的最值;(3)分類討論思想的應用。
科目:高中數學 來源:2015屆江西省南昌市三校高三10月聯考理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知△ABC的三內角A, B, C所對邊的長依次為a,b,c,M為該三角形所在平面內的一點,若a+b
+c
=
,則M是△ABC的( )
A.內心 B.重心 C.垂心 D.外心
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科目:高中數學 來源:2015屆江西省高三上學期第三次考試文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設函數的圖像關于直線
對稱,它的周期是
,則
A.的圖象過點
B.在
上是減函數
C.的一個對稱中心是
D.的最大值是A
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科目:高中數學 來源:2015屆江蘇省連云港高二下學期期末數學試卷(選修物理)(解析版) 題型:填空題
如圖,已知點是正方體
的棱
上的一個動點,設異面直線
與
所成的角為
,則
的最小值是 .
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科目:高中數學 來源:2015屆江蘇省連云港高二下學期期末數學試卷(選修歷史)(解析版) 題型:填空題
集合中,每兩個相異數作乘積,將所有這些乘積的和記為
,如:
;
;
則 .(寫出計算結果)
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科目:高中數學 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學期第一次五校聯考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
某中學高三年級從甲(文)、乙(理)兩個年級組各選出7名學生參加高校自主招生數學選拔考試,他們取得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲組學生的平均分是85,乙組學生成績的中位數是83.
(1)求和
的值;
(2)計算甲組7位學生成績的方差;
(3)從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生,求甲組至少有一名學生的概率.
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