Question

已知函數，，其中．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，求實數M的最大值；

（3）若對任意的，都有，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點斜式求出切線的方程；（2）由題意知要使不等式成立，需要比左邊的最小值即可，要求的最小值，只需求在上的最小值與最大值然后作差。（3）由題意知，應求的最大值，的最小值，在求的最小值時，令得，或，根據與區間的關系分情況討論。

試題解析：（1）當時， ，，

，，

所以所求切線方程為，即． 2分

（2），．令，得，．

當x變化時，與的變化情況如下：

x	0				2
		－	0	＋
			極小值		1

所以，．

因為存在，使得成立，

所以．所以實數M的最大值為． 8分

（3）由（2）知，在上，，所以．

．

（ⅰ）當或時，在上，，是單調增函數．

所以，解得或．所以或．

（ⅱ）當時，在上，，是單調減函數；

在上，，是單調增函數．所以，不成立．

（ⅲ）當時，在上，，是單調增函數；

在上，，是單調減函數．

所以且 ，又，可得．

（ⅳ）當時，在上，，是單調減函數．

，不成立．

綜上，實數的取值范圍是． 16分

考點：（1）導數的幾何意義；（2）利用導函數求函數的最值；（3）分類討論思想的應用。