Question

（Ⅰ）設函數，證明：當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽到的20個號碼互不相同的概率為p，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證明當x＞0時，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函數的單調性，只須證明f（x）在[0，+∞）上是單調增函數即可．先對函數進行求導，根據導函數大于0時原函數單調遞減即可得到答案．
（Ⅱ）先計算概率P=，再證明，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后證明＜e^-2，即證＞e²，即證19ln＞2，即證ln，而這個結論由（1）所得結論可得
解答：（Ⅰ）證明：∵f′（x）=，
∴當x＞-1，時f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0．
即當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，連續抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為P=，要證P＜＜．
先證：P=＜，即證＜
即證99×98×…×81＜（90）¹⁹
而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜
再證：＜e^-2，即證＞e²，即證19ln＞2，即證ln＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-，當x＞0時，f（x）＞0．
令x=，則ln（1+）-=ln（1+）-＞0，即ln＞
綜上有：P＜＜
點評：本題主要考查函數單調性的應用、函數的單調性與導數的關系等，考查運算求解能力，函數、導數、不等式證明及等可能事件的概率等知識．通過運用導數知識解決函數、不等式問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力．