Question

設函數，證明：

（Ⅰ）對每個，存在唯一的，滿足；

（Ⅱ）對任意，由（Ⅰ）中構成的數列滿足.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】（1）對每個，當時，，

則在內單調遞增，

而，當時，，

故，

又

所以對每個，存在唯一的，滿足

當時，，并由（1）知

由在內單調遞增知，，故為單調遞減數列，

從而對任意,

對任意，

    ①

 ②

①②并移項，利用，得

因此，對任意，.

本題考查的是數列函數，而且含雙變量，考生在做題的過程中需要冷靜的處理好每個變量.第（1）題考查函數的零點問題，要證明對每個，函數在某個區間上只有一個零點，一方面要證明函數是單調的，求導即可，另一方面要判斷的正負問題，此題難點在于判斷的正負時，要利用放縮的思想，將這個數列函數放縮到可以利用等比數列求和，從而證明此函數在指定區間內只有一個零點；第（2）題要將數列從數列函數中分離出來，就要通過函數的單調性，由，在內單調遞增，確定，則不等式左半邊成立，右半邊通過作差，數列放縮確定最終.本題屬于較難題.

【考點定位】考查函數的導數及其應用，函數零點的判定，等比數列的求和，不等式的放縮等知識.