Question

（Ⅰ）設函數，證明：當時，；

（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為。證明：。

注：可用（Ⅰ）的結論。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）。         1分

當時，，所以為增函數，又，

因此當時，。         3分

（Ⅱ）。         5分

又，，…，所以。         6分

由（Ⅰ）知，當時，，

因此。         7分

在此式中令，則即。         8分

所以。         9分

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數的符號判定單調性得到最值證明不等式恒成立。同時利用函數的最值結論來分析證明不等式的綜合運用。