Question

【題目】已知，令求能取到的不同的整數(shù)值的個數(shù).

Answer 1

【答案】1005

【解析】

因為，，

所以，.

設和式中有個，個，個1.則，且.

故 .

若為整數(shù)，則.此時，

.

（1）當時，中至少有1007個，1007個，即至少有2014個數(shù)，矛盾.

當時，中至少有1006個，1006個.

（i）中有1006個，1007個.

由于中有1005個，則這1006個在中連在一起，

即，

，

，

其中，.故

.

（ii）中有1007個，1006個.類似有，

，

，

，

其中，.

綜合（i）、（ii），共有2012個，使取最大值6032.

（2）用數(shù)學歸納法證明：當時，存在使得.

當時，由（1）已證.

假設當時，存在使得.

將中連續(xù)的壓（或）稱為一段.分別從段長度大于1的段、段中各取一個，放在數(shù)列末尾（若原末尾為，則取出的放最末尾；若原末尾為，則取出的放最末尾）.

于是，和式中的、各減少l，增加2.此時，.

故當時，結(jié)論成立.

綜上，能取到的不同整數(shù)值個數(shù)為1005.