Question

【題目】已知拋物線.

（1）點(diǎn)是該拋物線上任一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為；

（2）過(guò)點(diǎn)作該拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，設(shè)的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4.

【解析】

（1）先確定切線斜率存在，再與拋物線聯(lián)立，利用判別式為零解得斜率，即得結(jié)果；

（2）先根據(jù)（1）得兩切線方程，再根據(jù)過(guò)得切點(diǎn)弦方程，利用點(diǎn)到直線距離得高，與拋物線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式得，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)求的最小值.

（1）由于拋物線的對(duì)稱軸為軸，故切線斜率必存在.

設(shè)切線方程為，

，

，又，

所以，切線方程為，

即.

（2）由（1）可知：切線的方程為，

切線的方程為，

又均過(guò)，所以①，②

由①②即知直線的方程為，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

所以，，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.

故.