Question

設集合A={x｜4^x–2^x+2+a=0,x∈R}.

（1）若A中僅有一個元素，求實數a的取值集合B；

（2）若對于任意a∈B，不等式x²–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范圍.

Answer 1

(1) B={a｜a≤0或a=4} (2)

解析:

(1)令2^x=t(t＞0)，設f(t)=t²–4t+a.

由f(t)=0在(0,+∞)有且僅有一根或兩相等實根，則有

①f(t)=0有兩等根時，Δ=016–4a=0a=4

驗證:t²–4t+4=0t=2∈(0,+∞)，這時x=1

②f(t)=0有一正根和一負根時,f(0)＜0a＜0

③若f(0)=0，則a=0，此時4^x–4·2^x=02^x=0（舍去），或2^x=4,∴x=2，即A中只有一個元素

綜上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}

（2）要使原不等式對任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.  即g(a)=(x–2)a–(x²–6x)＞0恒成立.  只須

＜x≤2