Question

設集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}，
（1）若A∩B=A∪B，求實數a的值；
（2）若A∩B=B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解x²+4x=0可得集合A，又由A∩B=A∪B可得A=B，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的兩根為0、-4，由根與系數的關系可得關于a的方程，解可得答案；
（2）根據題意，由A∩B=B可得B⊆A，進而可得B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}，分別求出a的值，綜合可得答案．

解答：解：（1）A={x|x²+4x=0，x∈R}={0，-4}
若A∩B=A∪B，則A=B，
則有a+1=2且a²-1=0，
解可得a=1
（2）若A∩B=B，則B⊆A
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；
①當B=∅時，△=[2（a+1）]2-4•（a²-1）＜0⇒a＜-1
②當B={0}時，

0=-2(a+1) 0=a2-1

⇒a=-1
③當B={-4}時，

-4-4=-2(a+1) 16=a2-1

⇒a不存在

④當B={0，-4}時，

-4+0=-2(a+1) 0=a2-1

⇒a=1
∴a的取值范圍為（-∞，-1]∪{1}．

點評：本題考查集合間的相互關系，涉及參數的取值問題，解（2）時，注意分析B=∅的情況．