Question

已知不等式(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9對任意x、y的正實數恒成立，求正數a的最小值．

Answer 1

分析：首先分析題目已知不等式(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9對任意x、y的正實數恒成立．故對不等式左邊展開后，利用基本不等式得恒成立的滿足條件a+1+2

a

≥9，然后解不等式，可求a值．

解答：解：因為(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+

ax

y

+

y

x

+a≥a+1+2

a

(a＞0)，
要使原不等式恒成立，則只需a+1+2

a

≥9，
即(

a

-2)(

a

+4)≥0，故

a

≥2，即a≥4
所以正數a的最小值是4．

點評：此題主要考查基本不等式的應用，在利用基本不等式求參數的值或范圍時，只需求出式子的最小值或最大值，使其滿足已知條件即可．