Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設分別是橢圓的下頂點和上頂點， 是橢圓上異于的任意一點，過點作軸于為線段的中點，直線與直線交于點為線段的中點， 為坐標原點，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）證明見解析.

【解析】【試題分析】(I)依題意可知,將點代入橢圓方程,結合,解出的值,即求得橢圓的方程.(II) 設， ，則， ．將的坐標代入橢圓方程,求得的關系式.利用點斜式寫出直線的方程,由此求得點的坐標,利用中點坐標求得點的坐標.代入,由此證得.

【試題解析】

（Ⅰ）由題設知焦距為，所以.

又因為橢圓過點，所以代入橢圓方程得

因為，解得，

故所求橢圓的方程是．

（Ⅱ）設， ，則， ．

因為點在橢圓上，所以．即．

又，所以直線的方程為．

令，得，所以．

又， 為線段的中點，所以．

所以， ．

因

，

所以,即．