Question

【題目】已知y=f（x）是定義在（－∞，+∞）上的奇函數，且在［0，+∞）上為增函數，

（1）求證：函數在（－∞，0）上也是增函數；

（2）如果f（）=1，解不等式－1＜f（2x+1）≤0．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）{x｜－＜x≤－}．

【解析】

（1）設，且，根據單調性的定義，結合函數奇偶性，即可得證；

（2）根據是R上的奇函數，把，轉化為，再結合函數的單調性，得到，即可求解.

（1）設x1、x2是（－∞，0］上任意兩個不相等的實數，且x1＜x2，

則－x1，－x2∈［0，+∞），且－x1＞－x2，Δx=x2－x1＞0，Δy=f（x2）－f（x1）．

因為f（x）是奇函數，且在［0，+∞）上是增函數，－x1＞－x2，

所以f（－x1）＞f（－x2）．

又因為f（x）為奇函數，所以f（－x1）=－f（x1），f（－x2）=－f（x2），

所以－f（x1）＞－f（x2），即f（x1）＜f（x2），

即Δy=f（x2）－f（x1）＞0，

所以函數f（x）在（－∞，0］上也是增函數．

（2）因為f（x）是R上的奇函數，所以f（0）=0，f（－）=－f（）=－1，

由－1＜f（2x+1）≤0，得f（－）＜f（2x+1）≤f（0）．

又因為f（x）在（－∞，0）上是增函數，所以－＜2x+1≤0，解得－＜x≤－，

所以不等式的解集為{x｜－＜x≤－}．