Question

（2012•桂林模擬）在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理與兩角和的正弦公式，將已知等式化簡，得2sinAcosA=sin（B+C），結合三角形內角和定理與誘導公式，得2cosA-1=0，所以A=

π

3

；
（2）因為A=

π

3

，結合B是銳角△ABC的內角，可得B∈(

π

6

，

π

2

)．再將cosB+cosC化簡整理為sin（B+

π

6

），結合三角函數的圖象與性質，不難得到cosB+cosC的取值范圍．

解答：解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴由正弦定理，得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，∴2sinAcosA=sinA，得sinA（2cosA-1）=0
∵A∈（0，π），得sinA＞0，∴2cosA-1=0，得cosA=

1

2

，得A=

π

3

（2）∵B+C=π-A=

2π

3

，得C=

2π

3

-B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（

2π

3

-B）=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin（B+

π

6

）
∵B是銳角△ABC的內角，可得B∈(

π

6

，

π

2

)
∴B+

π

6

∈(

π

3

，

2π

3

)，可得sin（B+

π

6

）的最小值大于sin

π

3

=

3

2

當B=

π

3

時，sin（B+

π

6

）有最大值為1
由此可得，cosB+cosC的取值范圍是（

3

2

，1]．

點評：本題在銳角△ABC中，求兩個角余弦和的取值范圍．著重考查了正弦定理、兩角和的正弦公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．