Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如右圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含個小正方形．

(1)求出的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與之間的關系式，并根據你得到的關系式求出的表達式；

(3)求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）41；（2）2n²－2n＋1；（3）－.

【解析】本試題主要考查了數列的遞推關系式的運用，以及運用數列的裂項求和的綜合運用。

解：　(1)f(5)＝41.

(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

　……

由上式規律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因為f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n

⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…[來

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1.

(3)當n≥2時，＝＝(－)，

∴＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)

＝1＋(1－)＝－.