Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）；
（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關系式，并根據你得到的關系式求f（n）的表達式．

Answer 1

分析：（I）先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8，…從而得出f（5）；
（II）將（I）總結一般性的規律：f（n+1）與f（n）的關系式，再從總結出來的一般性的規律轉化為特殊的數列再求解即得．

解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）-f（1）=4=4×1．
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）
（Ⅱ）由上式規律得出f（n+1）-f（n）=4n．…（8分）
∴f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n）-f（n-1）=4•（n-1）…（10分）
∴f（n）-f（1）=4[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．…（12分）

點評：本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結其內在聯系，得到一般性的結論，若求解的項數較少，可一直推理出結果，若項數較多，則要得到一般求解方法，再求具體問題．