Question

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．

①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；

②已知常數，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）①存在點的坐標為，②.

【解析】

試題分析：（1）利用題目條件建立關于a，b，c的方程組，解方程組即可；

（2）①對于存在性問題，可以先假設點存在，然后根據以及點P在橢圓上直線，與橢圓的右準線分別交于點，等相關條件建立方程，看看點E的橫坐標是不是定值，如果是即為所求，如果不是也就說明了不存在；②利用向量的坐標運算，計算， ，進而求出的表達式，在利用函數知識求取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，，

， ∴，

由點在橢圓C上，則有：

， 2分

由以上兩式可解得．

∴橢圓方程為． 4分

（2）①橢圓右準線的方程為． 5分

假設存在一個定點,使得．設點()．

直線的方程為，令，，∴點坐標為．

直線的方程為，令，，

∴點坐標為． 7分

若，則，∵ ，，

∴． 9分

∵點在橢圓上，∴，∴ ，代入上式，得 ，

∴，∴點的坐標為． 11分

②∵， ，

∴．

∵，，∴．

∴ ． 13分

設函數，定義域為，

當時，即時，在上單調遞減，的取值范圍為，

當時，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，的取值范圍為 ．

綜上，當時，的取值范圍為，

當時，的取值范圍為． 16分

考點：（1）橢圓的標準方程；（2）向量的坐標運算；（3）函數的單調性求值域.