Question

設(shè)f（n）是一次函數(shù)，f（8）=15且f（2），f（5），f（4）成等比數(shù)列，求

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…f(n)

n2

的值．

Answer 1

分析：設(shè)f（n）=kn+b，則由條件可解得f（n）=4n-17，求出f（1）+f（2）+…+f（n）的值，代入要求的式子，利用
數(shù)列極限的運(yùn)算法則求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)f（n）=kn+b，則由題意可得8k+b=15，（5k+b）²=（2k+b）（4k+b），
解得  k=4，b=-17，即f（n）=4n-17．
故當(dāng)n為自然數(shù)時，數(shù)列{f（n）}為等差數(shù)列，且首項為-13，公差等于4．
故f（1）+f（2）+…+f（n）=

n(-13+4n-17)

2

=

n(4n-30)

2

．
∴

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…f(n)

n2

=

lim

n→∞

4-  30 n

2

=2．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，求出f（n）=4n-17，是
解題的關(guān)鍵．