Question

（2012•紹興一模）設f（x）是一次函數，f（8）=15，且f（2）、f（5）、f（14）成等比數列，令Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)，n∈N*，則S_n=

n²

．

Answer 1

分析：先通過條件求出函數f（x）的表達式，進而利用求和公式求和．

解答：解：因為f（x）是一次函數，所以設f（x）=ax+b，（a≠0）因為f（8）=15，所以f（8）=8a+b=15     ①
 又f（2）、f（5）、f（14）成等比數列，所以f（2）f（14）=f²（5），即（2a+b）（14a+b）=（5a+b）²   ②
兩式聯立解得a=2，b=-1，即f（x）=2x-1．
則f（n）=2n-1，是首項為f（1）=1，公差為2的等差數列．
所以S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
故答案為：n²．

點評：本題考查利用待定系數法求函數的表達式，等比數列的性質以及等差數列的前n項和公式．考查學生的運算能力．