Question

（2012•紹興一模）定義運(yùn)算a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

，例如，1*2=1，則函數(shù)f（x）=x²*（1-|x|）的最大值為

3- 5

2

．

Answer 1

分析：分析：根據(jù)定義a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

化簡函數(shù)f（x）=x²*（1-|x|）為分段函數(shù)f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

，為了計(jì)算的方便則令t=|x|化簡成關(guān)于t的分段函數(shù)f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最大值即可．

解答：解：由題意知
∵a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

∴函數(shù)f（x）=x²*（1-|x|）可化簡為：f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

令t=|x|得：f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

∴要求原分段函數(shù)的最大值，只需求f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

的最大值
即：f(t)=

t2(0≤ t≤ -1+ 5 2 ) 1-t(t＞ -1+ 5 2 )

又∵函數(shù)f（t）在區(qū)間[0，

-1+ 5

2

]上單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間（

-1+ 5

2

，+∞）上單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（t）的最大值在t=

-1+ 5

2

時(shí)取得，即f(t)max=f(

-1+ 5

2

)=

3- 5

2

故答案為：

3- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩點(diǎn)，一點(diǎn)是對(duì)新定義的理解，二點(diǎn)是利用函數(shù)單調(diào)性求分段函數(shù)的最值，屬于中檔題型．